Question

以正四棱臺（底面為正方形，各個側面均為全等的等腰梯形）為模型，驗證棱臺的平行于底面的截面的性質：設棱臺上底面面積為S₁，下底面面積為S₂，平行于底面的截面將棱臺的高分成上、下比為m：n的兩段，則截面面積S滿足下列關系：

S

=

m S2 +n S1

m+n

，當m=n時，則

S

=

S1+ S2

2

（中截面面積公式）．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積,棱臺的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：本題考查的是棱臺的截面面積問題．在解答時，首先要考慮好相似比與面積比的關系，然后利用還臺為錐的思想充分利用里邊的相似關系即可獲得問題的解答．

解答： 解：驗證如下：由題意可知：設還臺為錐后以棱臺的上底面為底面的棱柱的高與截面截得的上半段高的比為x：m，
則由相似關系可知：

x

m+n+x

=

S1

S2

，
∴x=

(m+n) S1

S2 - S1

，
又因為：

m

x+m

=

S1

S

，
∴

(m+n) S1 S2 - S1

(m+n) S1 S2 - S1 +m

=

S1

S

，
解得：S=(

m S2 +n S1

m+n

)2．
可得

S

=

m S2 +n S1

m+n

，
當m=n時，

S

=

S1+ S2

2

．

點評：本題考查的是棱臺的截面面積問題．在解答的過程當中充分體現了面積比是相似比的平方的知識、還臺為錐的思想以及問題轉化的能力．值得同學們體會反思．