Question

已知數列{a_n}的前n項和Sn=n2+2n，數列{b_n}是正項等比數列，且滿足a₁=2b₁，b3(a3-a1)=b1，n∈N*．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記cn=

1

Sn

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）即可求數列{a_n}的通項公式，（注意檢驗首項是否適合）；再代入a₁=2b₁，b₃（a₃-a₁）=b₁，即可求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）先整理出數列{c_n}的通項公式，再利用疊加法，即可求數列{c_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵數列{a_n}前n項的和S_n=n²+2n，∴a_n=S_n-S_n-1=2n+1（n∈N^*，n≥2）
∵a₁=S₁=3，∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2n+1（n∈N^*）
∵數列{b_n}是正項等比數列，b₁=

1

2

a₁=

3

2

，a₃-a₁=4，
∵b₃（a₃-a₁）=b₁，∴

b3

b1

=

1

a3-a1

=

1

4

，∴公比為

1

2

，
數列{b_n}的通項公式為b_n=

3

2

•(

1

2

)n-1=3•(

1

2

)n；
（Ⅱ）cn=

1

Sn

=

1

n2+2n

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

點評：本題考查數列的通項與求和，考查裂項法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．