Question

【題目】設、分別是橢圓的左、右焦點.

（1）若是該橢圓上的一個動點，求的最大值；

（2）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的最大值；（2）斜率的取值范圍為

【解析】

（1）設P（x，y），向量坐標化得x2+y2﹣3．由此能夠求出向量乘積的取值范圍．

（2）設直線l：y＝kx﹣2，M（x1，y1），B（x2，y2），聯立，得：，由韋達定理和根的判別式知：或k，又0°＜∠AOB＜90°cos∠AOB＞00，由此能求出直線l的斜率k的取值范圍．

（1）根據題意易知，所以，

設P（x，y），則

x2+y2﹣3

．因為

故﹣2．

（2）顯然直線x＝0不滿足題設條件，

故設直線l：y＝kx+2，M（x1，y1），B（x2，y2），

聯立，消去y，整理得：，

∴，

由，

得：或k，

又0°＜∠AOB＜90°cos∠AOB＞00，∴x1x2+y1y2＞0，

又y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4

．

∵，

即k2＜4，∴﹣2＜k＜2．

故由①、②得，或．