Question

已知數(shù)列{a_n}的前N項和為S_n，a₁=1，S_n+1=2S_n+3n+1（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列；
（2）對k∈N*，設(shè)f(n)=

Sn-an+3n，n=2k-1 log2(an+3)，n=2k

求使不等式f（m）＞f（2m²）恒成立的自然數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，S_n+1=2S_n+3n+1，知S₂=2S₁+4=a₁+a₂，由此能夠證明數(shù)列{a_n+3}是公比為2，首項為a₁+3=4的等比數(shù)列．
（2）由a_n+3=4•2^n-1．知an=2n+1-3，Sn=

4(1-2n)

1-2

-3n=2n+2-3n-4．所以f(n)=

2n+1-1，n=2k-1 n+1，n=2k

(k∈N*)．由此能求出使不等式f（m）＞f（2m²）恒成立的自然數(shù)m的最小值．

解答：解：（1）∵a₁=1，S_n+1=2S_n+3n+1，∴S₂=2S₁+4=a₁+a₂．∴a₂=5．
又當(dāng)n≥2時，S_n=2S_n-1+3（n-1）+1，∴S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+3，
即得a_n+1=2a_n+3．a(chǎn)_n+1+3=2（a_n+3），（n≥2）．----------------------------（4分）

a2+3

a1+3

=

8

4

=2，∴數(shù)列{a_n+3}是公比為2，首項為a₁+3=4的等比數(shù)列．…（2分）
（2）由（1），知a_n+3=4•2^n-1．∴an=2n+1-3，Sn=

4(1-2n)

1-2

-3n=2n+2-3n-4．
∴f(n)=

2n+1-1，n=2k-1 n+1，n=2k

(k∈N*)．…（4分）
①當(dāng)m為偶數(shù)時，∵f（m）=m+1，f（2m²）=2m²+1，
∴不存在自然數(shù)m，使f（m）＞f（2m²）恒成立．…（2分）
②當(dāng)m為奇數(shù)時，f（m）=2^m+1-1，f（2m²）=2m²+1，而f（m）＞f（2m²），
當(dāng)m=1時，f（m）=2¹⁺¹-1=3=f（2m²）=3；
當(dāng)m=3時，f（m）=2²⁺¹-1=15＜f（2m²）=19；--（2分）
當(dāng)m=5時，f（m）=2³⁺¹-1=63＞f（2m²）=51；
當(dāng)m≥5時，即證：2^m＞m²+1恒成立
ⅰ）m=5，已證
ⅱ）假設(shè)m=k（k≥5），結(jié)論成立，即2^k＞k²+1
則m=k+2時，2^k+2=4•2^k＞4（k²+1）
而4（k²+1）-（k+2）²-1=k（3k-4）-1＞0
則2^k+2＞（k+2）²+1
即 m=k+2時，結(jié)論成立
所以當(dāng)m≥5且為奇數(shù)，f（m）＞f（2m²）成立，-（3分）
此時m的最小值為5．---（1分）

點評：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，合理地運(yùn)用反證法進(jìn)行證明．注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．