Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=n²（n∈N^*），數列{b_n}為等比數列，且滿足b₁=a₂，3b₃=b₄．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，再寫一式，兩式相減，可求數列{a_n}的通項公式，確定等比數列的首項與公比可求結論；
（2）利用錯位相減法，即可求數列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）由已知S_n=n²得a₁=S₁=1                                 （1分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1                        （3分）
所以a_n=2n-1                                               （4分）
由已知b₁=a₂=3，設等比數列{b_n}的公比為q，由3b₃=b₄得q=3，
故bn=3n                                                        （7分）
（2）設數列{a_n•b_n}的前n項和T_n，
則T_n=1×3+3×3²+…+（2n-1）•3ⁿ                         （8分）
3T_n=1×3²+3×3³+…+（2n-1）•3ⁿ⁺¹（10分）
兩式相減得-2T_n=1×3+2×3²+…+2×3ⁿ-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=3+2×

3(1-3n-1)

1-3

-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=-2（3n-2）•3ⁿ （13分）
所以T_n=（3n-2）•3ⁿ                                            （14分）

點評：本題考查等差數列與等比數列的通項，考查數列的求和，考查錯位相減法的運用，屬于中檔題．