Question

已知函數(shù)（其中，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若，當(dāng)時(shí)，試比較與2的大小；
（Ⅲ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），求k的取值范圍，并證明．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)；（Ⅱ）；
（Ⅲ）實(shí)數(shù)k的取值范圍是；證明詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，根據(jù)其符號(hào)即可得其單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，通過導(dǎo)數(shù)可得其范圍，從而得出與2的大小；（Ⅲ）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，是的兩個(gè)根，即方程有兩個(gè)根.接下來就研究函數(shù)圖象特征，結(jié)合圖象便可知取何值時(shí)，方程有兩個(gè)根.

結(jié)合圖象可知，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足.
，這里面有兩個(gè)變量，那么能否換掉一個(gè)呢？
由，得，利用這個(gè)關(guān)系式便可將換掉而只留：
，這樣根據(jù)的范圍，便可得，從而使問題得證.
試題解析：（Ⅰ）由可知，當(dāng)時(shí)，由于，，
故函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)． 3分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，則，  4分
令，，
由于，故，于是在為增函數(shù)， 6分
所以，即在恒成立，
從而在為增函數(shù)，故． 8分
（Ⅲ）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，是的兩個(gè)根，
即方程有兩個(gè)根，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增且；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增且；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減且．
要使有兩個(gè)根，只需．
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是． 10分
又由上可知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)