Question

已知函數f（x）=|x-a|．
（1）若f（x）≤m的解集為{x|-1≤x≤5}，求實數a，m的值．
（2）當a=2且t≥0時，解關于x的不等式f（x）+t≥f（x+2t）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得a-m≤x≤a+m，比較題意可得

a-m=-1 a+m=5

，解之可得答案；
（Ⅱ）當a=2時，f（x）=|x-2|，不等式可化為|x-2+2t|-|x-2|≤t，①分類討論：當t=0時，不等式①恒成立，即x∈R；當t＞0時，不等式等價于

x＜2-2t 2-2t-x-(2-x)≤t

，或

2-2t≤x＜2 x-2+2t-(2-x)≤t

，或

x≥2 x-2+2t-(x-2)≤t

，解之綜合可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由|x-a|≤m得a-m≤x≤a+m，
結合題意可得

a-m=-1 a+m=5

，解得

a=2 m=3

----------------（4分）
（Ⅱ）當a=2時，f（x）=|x-2|，
所以f（x）+t≥f（x+2t）可化為|x-2+2t|-|x-2|≤t，①
當t=0時，不等式①恒成立，即x∈R；
當t＞0時，不等式等價于

x＜2-2t 2-2t-x-(2-x)≤t

，或

2-2t≤x＜2 x-2+2t-(2-x)≤t

，
或

x≥2 x-2+2t-(x-2)≤t

，解得x＜2-2t，或2-2t≤x≤2-

t

2

，或x∈?，即x≤2-

t

2

；
綜上，當t=0時，原不等式的解集為R，
當t＞0時，原不等式的解集為{x|x≤2-

t

2

}-----------（10分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，涉及分類討論的思想，屬中檔題．