Question

雙曲線與橢圓4x²+y²=1有相同的焦點，它的一條漸近線方程為y=

2

x，則這個雙曲線的方程為（　　）

A．2x²-4y²=1

B．2x²-4y²=3

C．2y²-4x²=1

D．2y²-4x²=3

Answer 1

分析：將橢圓化成標準方程，可得焦點坐標為（0，±

3

2

），因此設雙曲線方程為

y2

m

-

x2

3 4 -m

=1(0＜m＜

3

4

)，根據漸近線方程建立關于m的等式，算出m的值即可得到該雙曲線的方程．

解答：解：∵橢圓4x²+y²=1化成標準方程，得

x2

1 4

+y2=1
∴橢圓的焦點在y軸上，a²=1且b²=

1

4

，可得c=

a2-b2

=

3

2

由于雙曲線的焦點與橢圓相同，設雙曲線方程為

y2

m

-

x2

3 4 -m

=1(0＜m＜

3

4

)
∵雙曲線一條漸近線方程為y=

2

x，
∴

m 3 4 -m

=

2

，解之得m=

1

2

，可得雙曲線的方程為

y2

1 2

-

x2

1 4

=1，即2y²-4x²=1
故選：C

點評：本題給出雙曲線與橢圓有相同焦點，求雙曲線的標準方程．著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．