Question

【題目】已知函數f（x）滿足f（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+ x2；
（1）求f（x）的解析式及單調區間；
（2）若 ，求（a+1）b的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：

令x=1得：f（0）=1

∴ 令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e

故函數的解析式為

令g（x）=f'（x）=ex﹣1+x

∴g'（x）=ex+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上單調遞增

當x＞0時，f'（x）＞f'（0）=0；當x＜0時，有

f'（x）＜f'（0）=0得：

函數 的單調遞增區間為（0，+∞），單調遞減區間為（﹣∞，0）

（2）解： 得h′（x）=ex﹣（a+1）

①當a+1≤0時，h′（x）＞0y=h（x）在x∈R上單調遞增，x→﹣∞時，h（x）→﹣∞與h（x）≥0矛盾

②當a+1＞0時，h′（x）＞0x＞ln（a+1），h'（x）＜0x＜ln（a+1）

得：當x=ln（a+1）時，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b

∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）

令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），則F'（x）=x（1﹣2lnx）

∴

當 時，

即當 時，（a+1）b的最大值為

【解析】（1）對函數f（x）求導，再令自變量為1，求出f′（1）得到函數的解析式及導數，再由導數求函數的單調區間；（2）由題意 ，借助導數求出新函數的最小值，令其大于0即可得到參數a，b 所滿足的關系式，再研究（a+1）b的最大值
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．