Question

函數f(x)=2

3

sin

ωx

2

•cos

ωx

2

+3cosωx，（ω＞0）在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B、C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若將f（x）的圖象向右平移2個單位得到函數g（x），求g（x）的單調減區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用倍角公式與輔助角公式可將f（x）化簡為f（x）=2

3

sin（ωx+

π

3

），依題意知，A的縱坐標為2

3

，

T

2

=4，從而可求ω及函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，可求得g（x）=f（x-2）=2

3

sin（

π

4

x-

π

6

），由正弦函數的單調性即可求得g（x）的單調減區間．

解答：解：（Ⅰ）由已知得：f（x）=2

3

sin

ωx

2

•cos

ωx

2

+3cosωx
=

3

sinωx+3cosωx
=2

3

sin（ωx+

π

3

），
∵A為圖象的最高點，
∴A的縱坐標為2

3

，
又∵△ABC為正三角形，
∴|BC|=4，
∴

T

2

=4可得T=8，即

2π

ω

=8，
解得ω=

π

4

，
∴f（x）=2

3

sin（

π

4

x+

π

3

）．
（Ⅱ）由題意可得g（x）=2

3

sin[

π

4

（x-2）+

π

3

]=2

3

sin（

π

4

x-

π

6

），
令2kπ+

π

2

≤

π

4

x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
可得

1

2

+2k≤

1

4

x-

1

6

≤

3

2

+2k，k∈Z，
∴

8

3

+8k≤x≤

20

3

+8k，（k∈Z）
∴g（x）的單調減區間為[

8

3

+8k，

20

3

+8k]（k∈Z）．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換及正弦函數的單調性，屬于中檔題．