Question

已知函數f(x)=2

3

sin(x+

π

4

)cos(x+

π

4

)-sin(2x+π)．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若將f（x）的圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數g（x）的圖象，求函數g（x）在區間[0，

π

2

)上的最大值和最小值，并求出相應的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的倍角公式和誘導公式化簡函數f（x），然后直接由周期公式求周期；
（2）通過函數的圖象的平移求解函數g（x）的解析式為g（x）=2sin(2x-

π

3

)，由x的范圍求出2x-

π

3

的范圍，從而求得函數g（x）的最值，并得到相應的x的值．

解答：解：（1）由f(x)=2

3

sin(x+

π

4

)cos(x+

π

4

)-sin(2x+π)，得
f(x)=

3

sin(2x+

π

2

)+sin2x=

3

cos2x+sin2x=2sin(2x+

π

3

)．
∴f（x）的最小正周期為π；
（2）∵將f（x）的圖象向右平移

π

3

個單位，得到函數g（x）的圖象，
∴g(x)=f(x-

π

3

)=2sin[2(x-

π

3

)+

π

3

]=2sin(2x-

π

3

)．
∵x∈[0，

π

2

）時，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

)，
∴當2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

時，g（x）取得最大值2；
當2x-

π

3

=-

π

3

，即x=0時，g（x）取得最小值-

3

．

點評：本題考查了三角函數的倍角公式及誘導公式，考查了三角函數的圖象平移，訓練了三角函數的最值得求法，是中檔題．