Question

已知函數f(x)=2

3

sinωxcosωx+1-2sin2ωx(ω＞0)，且函數f（x）的最小正周期為π．
（1）若x∈(-

π

6

，π]，求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）將函數y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的

1

2

，把所得到的圖象再向左平移

π

6

個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在區間[0，

π

8

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的降次公式進行化簡，得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），根據函數y=Asin（ωx+φ）的周期的公式，計算出ω的值，得到函數的表達式，最后根據函數函數y=Asin（ωx+φ）的單調區間的結論，可以求得函數f（x）的單調遞減區間；
（2）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的規律，得到變換后函數y=g（x）的解析式是：g（x）=2sin（4x+

5π

6

），然后根據函數y=Asin（ωx+φ）的單調性的結論，可得函數g（x）在區間[0，

π

8

]上的值域，從而得到y=g（x）在區間[0，

π

8

]上的最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=2

3

sinωxcosωx+1-2sin2ωx(ω＞0)
∴利用三角函數的降次公式，得f（x）=

3

sin（2ωx）+cos（2ωx）=2sin（2ωx+

π

6

）
∵函數f（x）的最小正周期為T=

2π

2ω

=π
∴2ω=2，可得函數f（x）的解析式為：y=2sin（2x+

π

6

）
令

π

2

+2kπ＜2x+

π

6

＜

3π

2

+2kπ，得

π

6

+kπ＜x＜

2π

3

+kπ，其中k是整數，
∵x∈(-

π

6

，π]，
∴取k=0，得x∈(

π

6

，

2π

3

)
所以函數f（x）的單調遞減區間是(

π

6

，

2π

3

)；
（2）函數y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的

1

2

，
所得函數解析式為：y=2sin（4x+

π

6

）
再把所得到的圖象再向左平移

π

6

個單位，得到函數y=g（x）的圖象，
∴g（x）=2sin[4（x+

π

6

）+

π

6

]=2sin（4x+

5π

6

）
∵函數y=g（x）定義在區間[0，

π

8

]上，
∴4x+

5π

6

∈[

5π

6

，

4π

3

]⇒sin

4π

3

≤sin（4x+

5π

6

）≤sin

5π

6

即-

3

2

≤sin（4x+

5π

6

）≤

1

2

∴函數y=g（x）的值域為[-

3

，1]，函數的最小值為-

3

．

點評：本題以一個特殊的三角函數為例加以研究，著重考查了三角函數中的恒等變換、函數y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質和三角函數的最值等知識點，屬于中檔題．