Question

已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,左焦點(diǎn)F到直線AB的距離為|OB|,求橢圓的離心率.

Answer 1

e=

解析:

解法一:直線AB的方程為+=1,即bx-ay+ab=0,

∴d==b.

∵a²-b²=c²,a>b,a>c,

∴5a²-14ac+8c²=0.

∴8e²-14e+5=0.

解得e=或e=(舍).

解法二:如圖,作F₁D⊥AB于D,則|F₁D|=|OB|=b.

由△AF₁D∽△ABO,得.

∴5a²-14ac+8c²=0.

∴8e²-14e+5=0.解得e=或e=(舍).