Question

數列

（Ⅰ）求并求數列的通項公式；

（Ⅱ）設證明：當

Answer 1

解：（Ⅰ）因為

一般地，當時，

＝，即

所以數列是首項為1、公差為1的等差數列，因此

當時，

所以數列是首項為2、公比為2的等比數列，因此

故數列的通項公式為

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

                ①

             ②

   ①-②得，

                =

   所以

   要證明當時，成立，只需證明當時，成立．

   證法一

   （1）當n=6時，成立．

   （2）假設當時不等式成立，即

   則當n=k+1時，

   由（1）、（2）所述，當n≥6時，，即當n≥6時，

   證法二

   令,則

   所以當時，．因此當時，

于是當時，

綜上所述，當時，