Question

將數列{a_n}中的所有項按每組比前一組項數多一項的規則分組如下：（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀），…每一組的第1個數a₁，a₂，a₄，a₇，…構成的數列為{b_n}，b₁=a₁=1，S_n為數列{b_n}的前n項和，且滿足S_n+1（S_n+2）=S_n（2-S_n+1），n∈N^*，
（I）求證：數列{

1

Sn

}成等差數列，并求出數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若從第2組起，每一組中的數自左向右均構成等比數列，且公比q為同一個正數，當a₁₈=-

2

15

時，求公比q的值；   
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記每組中最后一數a₁，a₃，a₆，a₁₀，…構成的數列為{c_n}，設d_n=n²（n-1）•c_n，求數列{d_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（I）證明：由s_n+1（s_n+2）=s_n（2-s_n+1）
得s_n-s_n+1=s_ns_n+1
所以

1

sn+1

-

1

sn

=1
又s₁=b₁=a₁=1
所以數列{

1

sn

}是首項為1，公差為1的等差數列
所以

1

sn

=n，即sn=

1

n

所以bn=

1，n=1 -1 n(n-1) ，n≥2

（II）因為1+2+…+5=15
所以第1行至第5行共含有數列{a_n}的15項
故a₁₈在表中第6行第三列．（12分）
所以，a₁₈=-

2

15

=b6q2，（13分）
所以q=2．（14分
（III）因為從第2組起，每組中的數據依次構成以b_n為首項，2為公比的等比數列
所以cn=-

1

n(n-1)

•2n-1（n≥2，n∈N^*）
即Cn=

1，n=1 - 1 n(n-1) •2n-1，n≥2

于是n≥2當時那么相減得，T_n=0+（-2）×2+（-3）×2²+…+（-n）•2^n-1
-T_n=0+2×2+3×2²+…+n•2^n-1
-2T_n=2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
相減可得，T_n=2×2+2²+2³+…+2^n-1-n•2^n-1=（1-n）•2ⁿ