Question

過點P（1，0）作曲線C：y=x²（x∈（0，+∞）的切線，切點為M₁，設M₁在x軸上的投影是點P₁．又過點P₁作曲線C的切線，切點為M₂，設M₂在x軸上的投影是點P₂，…．依此下去，得到一系列點M₁，M₂…，M_n，…，設它們的橫坐標a₁，a₂，…，a_n，…，構成數列為{a_n}．
（1）求證數列{a_n}是等比數列，并求其通項公式；
（2）令bn=

n

an

，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）要證數列{a_n}是等比數列，只需證明數列{a_n}的后一項比前一項是常數即可，可先對y=x²求導數，y=x²在切點處的導數，就是在該點處的切線的斜率，求出切線方程，就可找到切點在x軸上的投影的橫坐標，再求相鄰橫坐標之商，看是否為常數，就可證出數列{a_n}是等比數列，再根據等比數列的通項公式求數列{a_n}的通項公式即可．
（2）根據（1）中所求數列{a_n}的通項公式求出數列{b_n}的通項公式，再用錯位相減求前n項和S_n

解答：解：（1）對y=x²求導數，得y'=2x，切點是M_n（a_n，a_n²）的切線方程是y-a_n²=2a_n（x-a_n）．（2分）
當n=1時，切線過點P（1，0），即0-a₁²=2a₁（1-a₁），得a₁=2；
當n＞1時，切線過點Pn-1(an-1，0)，即0-

a

2 n

=2an(an-1-an)，得

an

an-1

=2
所以數列{a_n}是首項a₁=2，公比為2的等比數列．
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ，n∈N^*（6分）
（2）∵bn=

n

an

，a_n=2ⁿ，∴bn=

n

2n

S_n=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

            ①
2S_n=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

   ②
①-②，得-S_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

3

2n+1

點評：本題考查了等比數列的證明，以及錯位相減求和．