Question

【題目】在三棱錐P﹣ABC中，PA=PB=PC= ，側棱PA與底面ABC所成的角為60°，則該三棱錐外接球的體積為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：過點P作PH⊥平面ABC于H，
則∵AH是PA在平面ABC內(nèi)的射影，
∴∠PAH是直線PA與底面ABC所成的角，得∠PAH=60°，
∴Rt△PAH中，AH=PAcos60°= ，PH=PAsin60°= ，
設三棱錐外接球的球心為O，∵PA=PB=PC，
∴P在平面ABC內(nèi)的射影H是△ABC的外心，
由此可得，外接球心O必定在PH上，連接OA、OB、OC
∵△POA中，OP=OA，
∴∠OAP=∠OPA=30°，可得PA= OA=
∴三棱錐外接球的半徑R=OA=1．
因此該三棱錐外接球的體積為V= πR3= ，
所以答案是： ．