Question

14．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F與橢圓C'：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{5}$=1的一個焦點重合，點A（x₀，2）在拋物線上，過焦點F的直線l交拋物線于M、N兩點．
（1）求拋物線C的方程以及|AF|的值；
（2）記拋物線C的準線與x軸交于點B，若$\overrightarrow{MF}=λ\overrightarrow{FN}$，|BM|²+|BN|²=40，求實數λ的值．

Answer 1

分析 （1）依題意F（1，0），故$\frac{p}{2}=1$，則2p=4，可得拋物線C的方程．將A（x₀，2）代入拋物線方程，解得x₀，即可得|AF|的值
（2）依題意，F（1，0），設l：x=my+1，設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），聯立方程$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}}\right.$，消去x，得y²-4my-4=0，則${|{\overrightarrow{BM}}|^2}+{|{\overrightarrow{BN}}|^2}={\overrightarrow{BM}^2}+{\overrightarrow{BN}^2}={（{x_1}+1）^2}+{y_1}^2+{（{x_2}+1）^2}+{y_2}^2={x_1}^2+{x_2}^2+2（{x_1}+{x_2}）+2+{y_1}^2+{y_2}^2$=（m²+1）（16m²+8）+4m•4m+8=16m⁴+40m²+16=40，解得λ．

解答 解：（1）依題意，橢圓$C'：\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{5}=1$中，a²=6，b²=5，故c²=a²-b²=1，故$\frac{p}{2}=1$，則2p=4，
可得拋物線C的方程為y²=4x．
將A（x₀，2）代入y²=4x，解得x₀=1，故$|{AF}|=1+\frac{p}{2}=2$．
（2）依題意，F（1，0），設l：x=my+1，設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
聯立方程$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}}\right.$，消去x，得y²-4my-4=0．
所以$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=4m}\\{{y_1}{y_2}=-4}\end{array}}\right.$，①且$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}=m{y_1}+1}\\{{x_2}=m{y_2}+1}\end{array}}\right.$，
又$\overrightarrow{MF}=λ\overrightarrow{FN}$，則（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），即y₁=-λy₂，
代入①得$\left\{{\begin{array}{l}{-λ{y_2}^2=-4}\\{（1-λ）{y_2}=4m}\end{array}}\right.$，消去y₂得$4{m^2}=λ+\frac{1}{λ}-2$，
易得B（-1，0），則$\overrightarrow{BM}=（{x_1}+1，{y_1}），\overrightarrow{BN}=（{x_2}+1，{y_2}）$，
則${|{\overrightarrow{BM}}|^2}+{|{\overrightarrow{BN}}|^2}={\overrightarrow{BM}^2}+{\overrightarrow{BN}^2}={（{x_1}+1）^2}+{y_1}^2+{（{x_2}+1）^2}+{y_2}^2={x_1}^2+{x_2}^2+2（{x_1}+{x_2}）+2+{y_1}^2+{y_2}^2$
=${（m{y_1}+1）^2}+{（m{y_2}+1）^2}+2（m{y_1}+m{y_2}+2）+2+{y_1}^2+{y_2}^2$=$（{m^2}+1）（{y_1}^2+{y_2}^2）+4m（{y_1}+{y_2}）+8$
=（m²+1）（16m²+8）+4m•4m+8=16m⁴+40m²+16，
當16m⁴+40m²+16=40，解得${m^2}=\frac{1}{2}$，故$λ=2±\sqrt{3}$．

點評 本題考查了拋物線的方程與性質，直線與拋物線的位置關系，考查了向量與曲線，屬于中檔題．