Question

設f(x)=x3-

3

2

(a+1)x2+3ax+1．
（Ⅰ）若函數f（x）在區間（1，4）內單調遞減，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數f（x）在x=a處取得極小值是1，求a的值，并說明在區間（1，4）內函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）先求出導函數f'（x），然后根據函數f（x）在區間（1，4）內單調遞減，則f'（4）≤0，可求出a的范圍；
（2）根據函數f（x）在x=a處有極值是1，可知f（a）=1建立等式，解之即可求出a，然后將求出的a分別進行驗證，從而求出在區間（1，4）內函數f（x）的單調性．

解答：解：f'（x）=3x²-3（a+1）x+3a=3（x-1）（x-a）（2分）
（1）∵函數f（x）在區間（1，4）內單調遞減，
∴f'（4）≤0，∴a∈[4，+∞）；（5分）
（2）∵函數f（x）在x=a處有極值是1，
∴f（a）=1，即a3-

3

2

(a+1)a2+3a2+1=-

1

2

a3+

3

2

a2+1=1，
∴a²（a-3）=0，所以a=0或3，（8分）
當a=0時，f（x）在（-∞，0）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，
所以f（0）為極大值，這與函數f（x）在x=a處取得極小值是1矛盾，所以a¹0．（10分）
當a=3時，f（x）在（1，3）上單調遞減，在（3，+∞）上單調遞增，
所以f（3）為極小值，所以a=3．
此時，在區間（1，4）內函數f（x）的單調性是：f（x）在（1，3）內減，在[3，4）內增．

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，以及極值等有關知識，屬于中檔題．