Question

已知矩陣M=，其中a∈R，若點P（1，7）在矩陣M的變換下得到點P'（15，9）．
（1）求實數a的值；
（2）求矩陣M的特征值及其對應的特征向量α．

Answer 1

【答案】分析：首先根據矩陣的變換列出方程式 求出實數a的值．求出m的矩陣后寫出其特征多項式，令f（λ）=0，得矩陣M的特征值，再根據特征值解出特征向量．
解答：解：（1）由=，∴1+7a=15⇒a=2．（4分）
（2）由（1）知M=，則矩陣M的特征多項式為=（λ-1）（λ-1）-4=λ²-2λ-3，
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為-1與3．（6分）
當λ=-1時，⇒x+y=0，
∴矩陣M的屬于特征值-1的一個特征向量為；（8分）
當λ=3時，⇒x=y，
∴矩陣M的屬于特征值3的一個特征向量為．（10分）
點評：本題主要考查矩陣與向量的乘法，和矩陣特征值及特征向量的求法．要求綜合能力，計算能力，以及矩陣的很好理解．