Question

已知函數g（x）=ax²-2ax+b+1（a＞0）在區間[2，3]上有最大值4和最小值1．設f（x）=．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數g（x）=ax²-2ax+b+1=a（x-1）²+1+b-a，
因為a＞0，所以g（x）在區間[2，3]上是增函數，故 ，解得． …．（6分）
（2）由已知可得f（x）=x+-2，
所以，不等式f（2^x）-k•2^x≥0可化為 2^x+-2≥k•2^x，
化為 1+-2•≥k，令t=，則 k≤t²-2t+1，因 x∈[-1，1]，故 t∈[，2]，
記h（t）=t²-2t+1，因為 t∈[，2]，故 h（t）_min=0，
所以k的取值范圍是（-∞，0]． …（14分）
分析：（1）由函數g（x）=a（x-1）²+1+b-a，a＞0，所以g（x）在區間[2，3]上是增函數，故 ，由此解得
a、b的值．
（2）不等式可化為 2^x+-2≥k•2^x，故有 k≤t²-2t+1，t∈[，2]，求出h（t）=t²-2t+1的最小值，從而求得k
的取值范圍．
點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，函數的零點與方程根的關系，函數的恒成立問題，屬于中檔題．