Question

已知函數(shù)f（x）=

a+lnx

x

，且f（x）+g（x）=

(x+1)lnx

x

，
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)g（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)?f′(x)=

1-(a+lnx)

x

≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立?a≥1-lnx在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，?a≥[1-lnx]_max，在區(qū)間[1，+∞）上．利用其單調(diào)性解出即可．
（2）g（x）=

(x+1)lnx

x

-

a+lnx

x

=lnx-

a

x

．（x＞0）．可得g′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

．對(duì)a分類討論：①當(dāng)a≥0時(shí)，②當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)-a＜1時(shí)；當(dāng)-a＞e時(shí)，即a＜-e；當(dāng)1≤-a≤e時(shí)，利用其單調(diào)性求出即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為減函數(shù)，∴f′(x)=

1-(a+lnx)

x

≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
∴a≥1-lnx在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
等價(jià)于a≥[1-lnx]_max，在區(qū)間[1，+∞）上．
∵1-lnx在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴[1-lnx]_max=1-ln1=1，∴a≥1．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）；
（2）g（x）=

(x+1)lnx

x

-

a+lnx

x

=lnx-

a

x

．（x＞0）．
g′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

．
①當(dāng)a≥0時(shí)，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（1）=-a=

3

2

，解得a=-

3

2

，應(yīng)舍去．
②當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）在（0，-a）上單調(diào)遞減，在（-a，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)-a＜1時(shí)，即-1＜a＜0，g（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，g(x)min=g(1)=-a=

3

2

，解得a=-

3

2

，應(yīng)舍去．
當(dāng)-a＞e時(shí)，即a＜-e，g（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，g(x)min=g(e)=1-

a

e

=

3

2

，解得a=-

e

2

，應(yīng)舍去．
當(dāng)1≤-a≤e時(shí)，即-e≤a≤-1，g（x）在[1，-a]上單調(diào)遞減，在（-a，e）單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，解得a=-

e

．
綜上所述，a=-

e

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．