Question

已知函數f（x）=|x-1|+|x+1|（x∈R）
（Ⅰ） 證明：函數f（x）是偶函數；
（Ⅱ）利用絕對值及分段函數知識，將函數解析式寫成分段函數，然后畫出函數圖象；
（Ⅲ） 寫出函數的值域和單調區間．

Answer 1

分析：（1）根據函數奇偶性的定義證明f（-x）=f（x），即可證明該函數為偶函數；
（2）分x≤-1，-1＜x＜1，x≥1三段寫出函數f（x）的解析式，根據解析式作出函數圖象；
（3）由圖象得出函數的值域及單調區間．

解答：解：（1）∵函數的定義域為R
∴定義域關于原點對稱．
∵f（-x）=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f（x）
∴函數f（x）是定義在R上的偶函數．
（2）當 x≤-1時，f（x）=-（x-1）-（x+1）=-2x
當-1＜x＜1時，f（x）=-（x-1）+（x+1）=2
當x≥1時，f（x）=（x-1）+（x+1）=2x
綜上函數的解析式為f（x）=

-2x，     x≤-1 2，         -1＜x＜1 2x，       x≥1

函數的圖象為

（3）由函數f（x）的圖象可知函數的值域為[2，+∞），函數的遞減區間為（-∞，-1]，函數的遞增區間為[1，+∞）．

點評：本題主要考查了偶函數的概念及判斷、分段函數的解析式及圖象、函數的值域及單調區間．培養了學生分類討論及數形結合的思想方法及解題能力．