Question

11．已知函數f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值．
（1）求實數a，b的值；
（2）過點A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程．

Answer 1

分析 （1）利用極值的意義，建立方程，即可求a，b；
（2）設切點坐標．利用導數的幾何意義求切線方程，然后利用切線過原點，確定切點坐標即可

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-3，
依題意，f′（1）=f′（-1）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b-3=0}\\{3a-2b-3=0}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=0．
（2）曲線方程為y=x³-3x，點A（0，16）不在曲線上．
設切點為M（x₀，y₀），則點M的坐標滿足y₀=x₀³-3x₀．
因f′（x₀）=3（x₀²-1），故切線的方程為y-y₀=3（x₀²-1）（x-x₀）
注意到點A（0，16）在切線上，有16-（x₀³-3x₀）=3（x₀²-1）（0-x₀），
化簡得：x₀³=-8，解得x₀=-2．
所以，切點為M（-2，-2），切線方程為9x-y+16=0．

點評 本題主要考查函數的單調性與極值，考查導數的幾何意義，要注意過點的切線和在點處的切線的不同．