Question

有窮數列{a_n}的前n項和S_n=2n²+n，現從中抽取某一項（不包括首項、末項）后，余下的項的平均值是79．
①求數列{a_n}的通項a_n；
②求這個數列的項數，抽取的是第幾項？

Answer 1

分析：①由已知中數列{a_n}的前n項和S_n=2n²+n，根據a_n=S_n-S_n-1可求出當n≥2時，數列{a_n}的通項a_n，驗證n=1，a₁=S₁=3后，即可得到數列{a_n}的通項a_n；
②設抽取的是第k項，由現從中抽取某一項（不包括首項、末項）后，余下的項的平均值是79，可以構造關于k的方程，解方程即可求出k值．

解答：解：①由S_n=2n²+n得a₁=S₁=3，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n-1，顯然滿足n=1，
∴a_n=4n-1，
∴數列{a_n}是公差為4的遞增等差數列．
②設抽取的是第k項，則S_n-a_k=79（n-1），a_k=（2n²+n）-79（n-1）=2n²-78n+79．
由

ak＞a1 ak＜an

?

2n2-78n+79＞3 2n2-78n+79＜4n-1

?38＜n＜40，∵n∈N^*，∴n=39，
由a_k=2n²-78n+79=2×39²-78×39+79=4k-1?k=20．
故數列{a_n}共有39項，抽取的是第20項．

點評：本題考查的知識點是等差數列的通項公式，其中a_n=S_n-S_n-1是由數列{a_n}的前n項和求數列{a_n}的通項a_n最常用的方法，要注意對n=1時，a₁=S₁的驗證．