Question

有窮數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n²+n，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n，并證明{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）現(xiàn)從中抽取某一項(xiàng)（不包括首項(xiàng)、末項(xiàng)）后，余下的項(xiàng)的平均值是79，求這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，抽取的是第幾項(xiàng)？

Answer 1

分析：（1）由S_n=2n²+n，可得a₁=s₁，而n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1可求通項(xiàng)，進(jìn)而可證明
（2）設(shè)抽取的是第k項(xiàng)，則由題意可得s_n-a_k=79（n-1），從而可求ak=2n2+n-79(n-1)．然后結(jié)合

ak＞a1 ak＜an

可求滿足條件的n，代入ak=2n2+n-79(n-1)，結(jié)合通項(xiàng)可求k

解答：解：（1）由S_n=2n²+n，
得a₁=s₁=3
當(dāng)n≥2時(shí)，sn-1=2(n-1)2+n-1
兩式相減可得，a_n=s_n-s_n-1=2n²+n-2（n-1）²-（n-1）=4n-1，顯然滿足n=1，
∴a_n=4n-1，
∴a_n-a_n-1=4
∴數(shù)列{a_n}是公差為4的遞增等差數(shù)列．
（2）設(shè)抽取的是第k項(xiàng)，則s_n-a_k=79（n-1），ak=2n2+n-79(n-1)=2n²-78n+79．
由

ak＞a1 ak＜an

可得

2n2-78n+79＞3 2n2-78n+79＜4n-1

，
解可得，38＜n＜40
∵n∈N^*，
∴n=39，
由ak=2n2-78n+79=2×392-78×39+79=4k-1
∴k=20
故數(shù)列{a_n}共有39項(xiàng)，抽取的是第20項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和問題的綜合應(yīng)用．