【題目】已知中心在坐標原點、焦點在x軸上的橢圓，它的離心率為
，且與直線x＋y－1＝0相交于M、N兩點，若以MN為直徑的圓經過坐標原點，求橢圓的方程．
【答案】
【解析】試題分析：設橢圓方程
（a＞b＞0），依題意橢圓方程可轉化為
，與直線x+y﹣1=0聯立，設M（x1，y1）、N（x2，y2），利用OM⊥ON可得x1x2+y1y2=0，利用韋達定理可得到關于b的關系式，從而可求得b2與a2．
試題解析：
設橢圓方程為
＋
＝1(a＞b＞0)，
∵e＝
，∴a2＝4b2，即a＝2b.
∴橢圓方程為
＋＝1.
把直線方程代入并化簡，得5x2－8x＋4－4b2＝0.
設M(x1，y1)、N(x2，y2)，則
x1＋x2＝
，x1x2＝
(4－4b2)．
∴y1y2＝(1－x1)(1－x2)
＝1－(x1＋x2)＋x1x2＝ (1－4b2)．
由于OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0.
解得b2＝
，a2＝
.
∴橢圓方程為
x2＋y2＝1.
名校名師培優作業本加核心試卷系列答案
全程金卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數學競賽，他們取得的成績（滿分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學生的平均分是85，乙班學生成績的中位數是83，則x+y的值為 ． 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有兩個分類變量x與y，其一組觀測值如下面的2×2列聯表所示：
y1 | y2 | |
x1 | a | 20－a |
x2 | 15－a | 30＋a |
其中a,15－a均為大于5的整數，則a取何值時，在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為x與y之間有關系？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知平面內三個向量： 
=（3，2）， 
=（﹣1，2）， 
=（4，1）
（1）若（ +k ）∥（2 ﹣ ），求實數k的值；
（2）設 
=（x，y），且滿足（ + ）⊥（ ﹣ ），| ﹣ |= 
，求 ．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=2sinxcosx+2 
cos2x﹣
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調減區間；
（2）已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中a=7，若銳角A滿足f（ 
﹣ 
）= ，且sinB+sinC= 
，求bc的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知命題p：不等式(m－1)x2＋(m－1)x＋2>0的解集是R，命題q：sin x＋cos x>m.如果對于任意的x∈R，命題p是真命題且命題q為假命題，求m的范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，正四面體
的頂點
分別在兩兩垂直的三條射線
上，在下列命題中，錯誤的是（ ）
A. 四面體
是正三棱錐 B. 直線
與平面
相交 C. 異面直線
和
所成角是
D. 直線
與平面
所成的角的正弦值為
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】東莞市某高級中學在今年4月份安裝了一批空調，關于這批空調的使用年限
（單位：年， 
）和所支出的維護費用
（單位：萬元）廠家提供的統計資料如下：
使用年限 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
維護費用 | 6 | 7 | 7.5 | 8 | 9 |
請根據以上數據，用最小二乘法原理求出維護費用
關于
的線性回歸方程
；
若規定當維護費用
超過13.1萬元時，該批空調必須報廢，試根據（1）的結論求該批空調使用年限的最大值.
參考公式：最小二乘估計線性回歸方程
中系數計算公式：
， 
， 
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