Question

若0＜a＜1，函數f(x)=loga

x-3

x+3

，g(x)=1+loga(x-1)，設f（x），g（x）的定義域的公共部分為D，當[m，n]⊆D（m＜n）時，f（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g（m）]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：先分別求函數f（x）和g（x）的定義域，并求其交集D，再利用復合函數的單調性判斷函數f（x）為D上的減函數，從而函數f（x）在[m，n]上的值域是[f（n），f（m）]，從而將問題轉化為方程組

f(m)=g(m) f(n)=g(n)

有解，即ax²+（2a-1）x-3a+3=0的兩根均大于3，最后利用二次函數的圖象和性質列不等式即可解得a的范圍

解答：解：由

x-3

x+3

＞0，得x＞3或x＜-3，∴函數f（x）的定義域為A=（-∞，-3）∪（3，+∞），
由x-1＞0，得x＞1，∴函數g（x）的定義域為B=（1，+∞），
∴D=A∩B=（3，+∞）
∵f(x)=loga

x-3

x+3

=loga(1-

6

x+3

)在區間D上為減函數，（因為內層函數為增函數，外層函數為減函數）
∴

f(m)=g(m) f(n)=g(n)

即f（x）=g（x）有兩個大于3的不等根m，n
即loga

x-3

x+3

=1+loga(x-1)有兩個大于3的不等根m，n
即

x-3

x+3

=a(x-1)有兩個大于3的不等根m，n
即ax²+（2a-1）x-3a+3=0的兩根均大于3
設h（x）=ax²+（2a-1）x-3a+3
則

0＜a＜1 △=(2a-1)2-4a(3-3a)＞0 h(3)=9a+3(2a-1)-3a+3＞0 - 2a-1 2a ＞3

解得a∈（0，

2- 3

4

）

點評：本題主要考查了對數型復合函數的定義域和單調性的判斷方法，二次方程根的分布問題的解法，函數與方程的思想，轉化化歸的思想方法，