Question

【題目】為增強(qiáng)市民的節(jié)能環(huán)保意識(shí)，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽取100名志愿者，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡分組區(qū)間是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．

（Ⅰ）求圖中x的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在[35，40）歲的人數(shù)；
（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取20名參加中心廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，再?gòu)倪@20名中采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法選取3名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人．記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】解：（I）∵小矩形的面積等于頻率，而頻率之和等于1．
∴（0.07+x+0.04+0.02+0.01）×5=1，
解得x=0.06．
500名志愿者中，年齡在[35，40）歲的人數(shù)為0.06×5×500=150（人）．
（II）用分層抽樣的方法，從100名志愿者中選取20名，
則其中年齡“低于35歲”的人有12名，
“年齡不低于35歲”的人有8名．
故X的可能取值為0，1，2，3，P（X=0）= = ， = ，
， = ．
故X的分布列為

X	0	1	2	3
P

∴EX= = =
【解析】（I）根據(jù)小矩形的面積等于頻率，而頻率之和等于1．即可得出x，再用頻率×總體容量即可．（II）分層抽樣的方法，從100名志愿者中選取20名；則其中年齡“低于35歲”的人有20×（0.01+0.04+0.07）×5=12名，“年齡不低于35歲”的人有8名．X的可能取值為0，1，2，3，再利用超幾何分布即可得出，再利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列才能正確解答此題．