Question

（文）f(x)=4cosxsin2(

π

4

+

x

2

)+

3

cos2x-2cosx．
（1）求f（x）的周期；
（2）若B為△ABC的內角且f（B）=2，求角B；
（3）若B為△ABC的內角且f（B）-m＞2恒成立，求實數m取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求f（x）的周期，須將函數f（x）化成一個角的一個三角函數的形式才好求解，故先利用三角函數的和角公式、二倍角公式將原函數化成一個三角函數的形式，最后利用周期公式即可求解；
（2）利用（1）中化得的f（x）的形式，由f（B）=2得到一個關于角B的方程，解此三角方程即可求得角B；
（3）利用三角函數的有界性，最終轉化為2+m小于2sin(2B+

π

3

)的最小值即可，從而求出實數m取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=4cosx

1-cos( π 2 +x)

2

+

3

cos2x-2cosx
=2cosx（1+sinx）+

3

cos2x-2cosx=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

).T=

2π

2

=π．
（2）∵f（B）=2，∴2sin(2B+

π

3

)=2，
∴2B+

π

3

=

π

2

，∴B=

π

12

．
（3）f（B）-m＞2恒成立，即2sin(2B+

π

3

)＞2+m恒成立，
∵0＜B＜π，
∴-2≤2sin(2B+

π

3

)≤2，∴2+m＜-2，∴m＜-4．

點評：本題主要考查了函數恒成立問題、同角三角函數基本關系的運用、三角函數的周期性及其求法等知識．屬于基礎題．