Question

已知橢圓（a＞b＞0）和直線l：y＝bx＋2，橢圓的離心率e＝，坐標原點到直線l的距離為．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點E（﹣1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓相交于C，D兩點，試判斷是否存在實數k，使得以CD為直徑的圓過定點E？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1），（2）k＝.

【解析】試題分析：（1）利用直線l：y＝bx＋2，橢圓的離心率e＝，坐標原點到直線l的距離為，建立方程，求出橢圓的幾何量，即可求得橢圓的方程；（2）直線y＝kx＋2代入橢圓方程，利用韋達定理及CD為圓心的圓過點E，利用數量積為0，即可求得結論．

試題解析：（1）直線l：y＝bx＋2，坐標原點到直線l的距離為．∴b＝1

∵橢圓的離心率e＝，∴，解得a2＝3

∴所求橢圓的方程是；

（2）直線y＝kx＋2代入橢圓方程，消去y可得：（1＋3k2）x2＋12kx＋9＝0

∴△＝36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1

設C（x1，y1），D（x2，y2），則有x1＋x2＝－，x1x2＝

∵＝（x1＋1，y1），＝（x2＋1，y2），且以CD為圓心的圓過點E，

∴EC⊥ED∴（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2＝0∴（1＋k2）x1x2＋（2k＋1）（x1＋x2）＋5＝0

∴（1＋k2）×＋（2k＋1）×（－）＋5＝0，解得k＝＞1，

∴當k＝時，以CD為直徑的圓過定點E

考點：直線與圓錐曲線的位置關系，橢圓的標準方程