Question

用水清洗一堆蔬菜上殘留的農藥，對用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1個單位量的水可清除蔬菜上殘留農藥量的

1

2

，用水越多，洗掉的農藥量也越多，但總還有農藥殘留在蔬菜上．設用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農藥量與本次清洗前殘留的農藥量之比為函數f（x）
（1）試規定f（0）的值，并解釋其實際意義；
（2）設f(x)=

1

1+x2

現有a（a＞0）單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗兩次．哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農藥量比較少？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）f（0）表示沒有用水清洗，蔬菜上的農藥量并沒有變化，不妨設f（0）=1；
（2）設清洗前蔬菜上的農藥量為1，用a單位量的水清洗1次后，殘留的農藥量為：

1

1+a2

①；
用

a

2

單位量的水清洗2次后，殘留的農藥量為：

1

1+( a 2 )2

•

1

1+( a 2 )2

②；
作差①-②比較即可．

解答：解：（1）f（0）=1表示沒有用水清洗時，蔬菜上的農藥量沒有變化
（2）設清洗前蔬菜上的農藥量為1，那么用a單位量的水清洗1次后，殘留的農藥量為W1=1×f(a)=

1

1+a2

又如果用

a

2

單位量的水清洗1次，殘留的農藥量為1×f(

a

2

)=

1

1+( a 2 )2

此后再用

a

2

單位量的水清洗1次后，殘留的農藥量為W2=

1

1+( a 2 )2

•f(

a

2

)=[

1

1+( a 2 )2

]2=

16

(4+a2)2

由于W1-W2=

1

1+a2

-

16

(4+a2)2

=

a2(a2-8)

(1+a2)(4+a2)2

當a＞2

2

時，W₁＞W₂此時，把a單位的水平均分成2份后，清洗兩次，殘留的農藥量較少
當a=2

2

時，W₁=W₂此時，兩種清洗方式效果相同
當0＜a＜2

2

時，W₁＜W₂，此時，用a單位量的水一次清洗殘留的農藥量較少

點評：本題考查了一個自定義函數模型的實際應用，解題時要弄清題意，理解函數解析式的意義，并且在比較大小時用到作差法．