Question

函數f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos2xcosφ-

1

2

sin(

π

2

+φ)(0＜φ＜π)，其圖象過點（

π

6

，

1

2

）．
（I）求φ的值；
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）的周期與單調遞減區間．

Answer 1

分析：（I）圖象過點（

π

6

，

1

2

），代入方程結合φ的范圍，求φ的值；
（Ⅱ）化簡函數的表達式，將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求出函數的解析式，利用正弦函數的單調減區間，求函數y=g（x）的周期與單調遞減區間．

解答：解：（1）由條件知

1

2

=

3

4

sinφ+

1

4

cosφ=

1

2

sin(φ+

π

6

)
∴φ+

π

6

=

π

2

?φ=

π

3

（2）由（1）代入得

f(x)= 1 2 sin2x 3 2 +cos2x 1 2 - 1 2 cosφ

=

1

2

sin2x

3

2

+

1+cos2x

2

1

2

-

1

4

=

1

2

sin(2x+

π

6

)
∴函數g（x）=

1

2

sin(4x+

π

6

)
∴函數y=g（x）的周期為T=

π

2

遞減區間為[

π

12

+

1

2

kπ，

π

3

+

1

2

kπ]

&(k∈Z)

點評：本題是中檔題，考查三角函數的值的求法，考查三角函數的化簡，函數的單調性，圖象的平移變換，是常考題型，考查計算能力．