Question

【題目】已知橢圓的離心率，過點和的直線與原點的距離為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設分別為橢圓的左、右焦點，過作直線交橢圓于兩點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先求出直線方程為，利用原點到直線的距離建立方程并化簡得，有離心率及，解方程組求得：，故橢圓方程為；（2）設直線的方程為：，聯立直線與橢圓方程，寫出根與系數關系，利用弦長公式求得面積的表達式，利用基本不等式求得最大值為.

試題解析：

（1）直線的方程為即，

原點到直線的距離為即．．．．．．．．．．．．．①

．．．．．．．．．．．②

又．．．．．．．．．．③

由①②③可得：故橢圓方程為；

（2），設，

由于直線的斜率不為0，故設其方程為：，

聯立直線與橢圓方程：

或．．．．．．．．．．④

．．．．．．．．．．．．．．．．⑤

將④代入⑤得：，

令，則，

當且僅當，即，即時，面積取最大值．