Question

橢圓的中心在原點O,短軸長為,左焦點為F(-c,0)(c＞0),相應的準線l與x軸交于點A,且點F分的比為3,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點.

(1)求橢圓的方程;

(2)若PF⊥QF,求直線PQ的方程.

Answer 1

解:(1)設=1,則c²+(3)²=a²,準線l:x=,?

由點F分的比為3，得-c=3c,?

解得a²=4,c=1,得橢圓方程為=1                                                                 ?

(2)設PQ：y=k(x+4),P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),F(-1,0).??

∵PF⊥QF,?

∴(x₁+1)(x₂+1)+y₁y₂=0,?

即(x₁+1)(x₂+1)+k²(x₁+4)(x₂+4)=0,?

(1+k²)x₁x₂+(1+4k²)(x₁+x₂)+(1+16k²)=0,                                                                     ?

聯立?

消去y得(3+4k²)x²+32k²x+64k²-12=0,?

∴x₁x₂=,x₁+x₂=-.                                                                        ?

代入化簡得8k²=1.∴k=±.?

∴直線PQ的方程為y=(x+4)或y=-(x+4).