Question

已知橢圓Γ的中心在原點O，焦點在x軸上，直線l：x+

3

y-

3

=0與橢圓Γ交于A、B兩點，|AB|=2，且∠AOB=

π

2

．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）若M、N是橢圓Γ上的兩點，且滿足

OM

•

ON

=0，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）依題意，設直線l：x+

3

y=

3

與橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由∠AOB=

π

2

，知x₁x₂+y₁y₂=0，而x₁=

3

（1-y₁），x₂=

3

（1-y₂），代入上式得到：4y₁y₂-3（y₁+y₂）+3=0．由此可求出橢圓Γ的方程．
（2）由題意知M、N是橢圓

x2

3

+y²=1上的兩點，且OM⊥ON，故設M（r₁cosθ，r₁sinθ），N（-r₂sinθ，r₂cosθ），由題設條件能夠推出|MN|的最小值為

3

．

解答：解：（1）依題意，設直線l：x+

3

y=

3

與橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由∠AOB=

π

2

，知x₁x₂+y₁y₂=0，而x₁=

3

（1-y₁），x₂=

3

（1-y₂），代入上式得到：4y₁y₂-3（y₁+y₂）+3=0①
由|AB|=2知：|y₁-y₂|=2，即|y₁-y₂|=1，
不妨設y₁＞y₂，則y₂=y₁+1，②
將②式代入①式求得：

y1=0 y2=1

或

y1= 1 2 y2= 3 2

，
∴A（

3

2

，

1

2

），B（-

3

2

，

3

2

）或A（

3

，0），B（0，1），
又A（

3

2

，

1

2

），B（-

3

2

，

3

2

）不合題意，舍去．
∴A（

3

，0），B（0，1），
故所求橢圓Γ的方程為

x2

3

+y²=1．
（2）由題意知M、N是橢圓

x2

3

+y²=1上的兩點，且OM⊥ON，
故設M（r₁cosθ，r₁sinθ），N（-r₂sinθ，r₂cosθ），
于是r₁²（

cos2θ

3

+sin²θ）=1，r₂²（

sin2θ

3

+cos²θ）=1，
又（r₁²+r₂²）（

1

r 2 1

+

1

r 2 2

）=2+

r 2 1

r 2 2

+

r 2 2

r 2 1

≥4，
從而|MN|²•

4

3

≥4，即|MN|≥

3

，
故所求|MN|的最小值為

3

．

點評：本題考查直線的圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．