Question

已知橢圓的中心在原點O，焦點在x軸上，過右焦點F的直線與右準線交于點D，與橢圓交于A、B兩點，右準線與x軸交于C點，若|

FC

|，|

CD

|，|

FD

|成等差數列，且公差等于短軸長的

1

6

．
（1）求橢圓的離心率； 
（2）若△OAB的面積為20

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），|

FC

|=m-d，|

CD

|=m，|

FD

|=m+d，則：（m-d）²+m²=（m+d）²，故d=

1

4

m，由d=

1

6

×2b=

b

3

，知

1

4

m=

b

3

，由此能求出橢圓的離心率．
（2）直線AB的斜率k=tan∠DFC=

|CD|

|FC|

=

4

3

，其方程為：y=

4

3

(x-c)，由b=c=

2

2

a和

y= 4 3 (x-b) x2 2b2 + y2 b2 =1

，得：41y²+24by-16b²=0．由此能夠求出該橢圓的方程．

解答：解：（1）設橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
|

FC

|=m-d，|

CD

|=m，|

FD

|=m+d，
則：（m-d）²+m²=（m+d）²，∴d=

1

4

m，
又d=

1

6

×2b=

b

3

，∴

1

4

m=

b

3

，
即m=

4

3

b，從而|

FC

|=m-d=

4

3

b-

1

3

b=b，
且|

FC

|=

a2

c

-c，故

a2

c

-c=b⇒b=c=

2

2

a，
∴橢圓的離心率為e=

c

a

=

2

2

．
（2）直線AB的斜率k=tan∠DFC=

|CD|

|FC|

=

4

3

，
其方程為：y=

4

3

(x-c)，
由（1）b=c=

2

2

a，
則由

y= 4 3 (x-b) x2 2b2 + y2 b2 =1

，
消x得：41y²+24by-16b²=0
設A(x1，

y

1

)，B(x2，

y

2

)，
則：y1+y2=-

24b

41

，y1y2=-

16b2

41

，
有S_△OAB=S_△OFA+S_△OFB
=

1

2

c

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

c

(- 24b 41 )2+4• 16b2 41

，
又△OAB的面積為20

2

，
∴

20 2

41

b2=20

2

，解得b²=41，a²=2b²=82
∴該橢圓的方程為：

x2

82

+

y2

41

=1．

點評：本題考查橢圓的離心率，求橢圓的方程．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．