Question

已知函數．

（1）求證函數在區間上存在唯一的極值點，并用二分法求函數取得極值時相應的近似值（誤差不超過）；（參考數據，，）

（2）當時，若關于的不等式恒成立，試求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）∴在區間上存在唯一的極小值點，間內任意一點即為所求． （Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）先求函數的導數，求導數在0和1處的值，乘積小于0即可

（Ⅱ）利用分參法把a分離出來，構造函數，求函數的導數，判斷函數的單調性，求a的取值范圍

（Ⅰ），   ∵  ，，

∴  ．                             ……………………2分

令 ，則，     ……………………3分

∴在區間上單調遞增，∴  在區間上存在唯一零點，

∴在區間上存在唯一的極小值點．       …………………4分

取區間作為起始區間，用二分法逐次計算如下：

①        ，而，∴  極值點所在區間是；

②        又，∴  極值點所在區間是；

③  ∵  ，∴  區間內任意一點即為所求．  ……7分

（Ⅱ）由，得，

即 ，∵  ，   ∴ ，………………8分

令 ， 則．   ………………10分

令 ，則．

∵，∴，∴在上單調遞增，

∴，

因此故在上單調遞增，       

則，∴  的取值范圍是