Question

20．若函數y=f（x）的圖象上存在不同兩點M、N關于原點對稱，則稱點對[M，N]是函數y=f（x）的一對“和諧點對”（點對[M，N]與[N，M]看作同一對“和諧點對”）．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x，x≤0}\\{|lnx|，x＞0}\end{array}\right.$則此函數的“和諧點對”有（　　）

• A． 0對
• B． 1對
• C． 2對
• D． 4對

Answer 1

分析 令f（x）+f（-x）=0，根據圖象判斷方程的根的個數，得出結論．

解答 解：若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x，x≤0}\\{-lnx，0＜x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，
令f（x）+f（-x）=0，
若0＜x＜1，則-lnx-x³+3x=0，即lnx=-x³+3x，
作出y=lnx與y=-x³+3x的函數圖象，

由圖象可知兩函數在（0，1）上無交點，
若x≥1，則lnx-x³+3x=0，即lnx=x³-3x，
作出y=lnx與y=x³-3x的函數圖象，

由圖象可知兩函數在（1，+∞）上有1個交點，
所以，f（x）只有1對“和諧點對”．
故選B．

點評 本題考查了方程根與函數圖象的關系，屬于中檔題．