Question

11．已知數列{ a_n}的前n項和為S_n，且滿足：a₁=1，a₂=2，S_n+1=a_n+2-a_n+1（n∈N*），則S_n=2ⁿ-1．

Answer 1

分析 S_n+1=a_n+2-a_n+1（n∈N*），則S_n+1=S_n+2-S_n+1-（S_n+1-S_n），化為：S_n+2+1=2（S_n+1+1）．由a₁=1，a₂=2，可得：S₂+1=2（S₁+1），可得數列{S_n+1}是等比數列，首項為2，公比為2．即可得出．

解答 解：S_n+1=a_n+2-a_n+1（n∈N*），則S_n+1=S_n+2-S_n+1-（S_n+1-S_n），化為：S_n+2+1=2（S_n+1+1）．
由a₁=1，a₂=2，可得：S₂+1=2（S₁+1），
因此S_n+1+1=2（S_n+1）對?n∈N^*都成立．
∴數列{S_n+1}是等比數列，首項為2，公比為2．
∴S_n+1=2ⁿ，即S_n=2ⁿ-1，
故答案為：2ⁿ-1．

點評 本題考查了等比數列的定義、通項公式與求和公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．