Question

7．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的三視圖如圖，
（1）求證：D₁C⊥AC₁；
（2）面ADC₁與BB₁交于點M，求證：MB=MB₁．

Answer 1

分析 （1）判斷幾何體是四棱柱為直四棱柱且底面為直角梯形，連結C₁D，證明DC₁⊥D₁C，AD⊥DC₁，得到DC₁⊥平面ADC₁，然后證明DC₁⊥AC₁；
（2）證明ABM和△DCC₁相似，然后證明MB=MB₁．

解答 （1）證明：由三視圖得，該四棱柱為直四棱柱且底面為直角梯形，
在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，連結C₁D，
∵DC=DD₁，∴四邊形DCC₁D₁是正方形，
∴DC₁⊥D₁C．又AD⊥CD，AD⊥DD₁，DC∩DD₁=D，
∴又AD⊥平面DCC₁D₁，DC₁?平面DCC₁D₁，∴AD⊥DC₁
∵AD，DC₁?平面ADC₁，且AD∩DC₁=D，∴DC₁⊥平面ADC₁，
又AC₁?平面ADC₁，∴DC₁⊥AC₁；
（2）空間中兩個角的邊對應平行則∠AMB=∠DC₁C，又$∠ABM=∠DC{C_1}={90^0}$，
∴△ABM和△DCC₁相似，∴$\frac{AB}{DC}=\frac{BM}{{C{C_1}}}=\frac{1}{2}$，∴MB=MB₁．

點評 本題考查空間幾何體的三視圖的應用，直線與平面垂直的判定定理以及性質定理的應用，考查空間想象能力．