Question

15．設函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$，若對任意給定的m∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，滿足f（f（x））=2a²m²+am，則正實數a的取值范圍是（　　）

• A． $[{\frac{1}{2}，+∞}）$
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 作出函數f（x）的圖象，結合f（x）的值域范圍或者圖象，易知只有在f（x）的自變量與因變量存在一一對應的關系時，即只有當f（x）＞1時，才會存在一一對應．然后利用一元二次不等式的性質即可得到結論．

解答 解：根據f（x）的函數，我們易得出其值域為：R，
又∵f（x）=2^x，（x≤0）時，值域為（0，1]；
f（x）=log₂x，（x＞0）時，其值域為R，
∴可以看出f（x）的值域為（0，1]上有兩個解，
要想f（f（x））=ma+2m²a²，在a∈（1，+∞）上只有唯一的x∈R滿足，
必有f（f（x））＞1 （因為ma+2m²a²＞0），
所以：f（x）＞2，即log₂x＞2，
解得：x＞4，
當 x＞4時，x與f（f（x））存在一一對應的關系，
∴ma+2m²a²＞1，a∈（1，+∞），且m＞0，
把m當作主變量，
則不等式等價為2m²a²+ma-1＞0，
即（ma+1）（2ma-1）＞0，
∵ma+1＞0，
∴不等式等價為2ma-1＞0，
即m＞$\frac{1}{2a}$，
∵a＞1，
∴$\frac{1}{2a}$＜$\frac{1}{2}$，
則m≥$\frac{1}{2}$，
故正實數m的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．
故選：A

點評 本題主要考查了分段函數的應用，綜合性較強，利用數形結合是解決本題的關鍵，難度較大．