Question

已知tanα+cotα=

5

2

，α∈(

π

4

，

π

2

)，求cos2α和sin(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：本小題考查同角三角函數關系、兩角和公式、倍角公式等基礎知識，考查基本運算能力．切化弦，通分整理，逆用二倍角公式，分析角的范圍，求出余弦值，再用兩角和的正弦公式得到結果．

解答：解：∵tanα+cotα=

5

2

，
∴

sinα

cosα

+

cosα

sinα

=

5

2

，
則

2

sin2α

=

5

2

，sin2α=

4

5

，
∵α∈(

π

4

，

π

2

)，
∴2α∈(

π

2

，π)，
∴cos2α=-

1-sin22α

=

3

5

，
sin(2α+

π

4

)=sin2α．cos

π

4

+cos2α．sin

π

4

=

4

5

×

2

2

-

3

5

×

2

2

=

2

10

.

點評：理解掌握兩角和與差的三角的各種變形，提高逆用思維的能力，運用兩角和與差角三角函數公式的關鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關系，次數關系，三角函數名等．