Question

我們把離心率為黃金比

5 -1

2

的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”．設(shè)

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）為“優(yōu)美橢圓”，F(xiàn)．A分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，B是它短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則∠ABF等于（　　）

• A、60°
• B、75°
• C、90°
• D、120°

Answer 1

分析：由

c

a

=

5 -1

2

可得2c2=(3-

5

)a2驗(yàn)證|FA|²=|FB|²+|AB|²成立所以所以∠FBA等于 90°．

解答：解：∵

c

a

=

5 -1

2

，∴2c2=(3-

5

)a2
在三角形FAB中有b²+c²=a²，|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=

a2+b2

，∴|FA|²=（a+c）²=a²+c²+2ac，|FB|²+|AB|²=2a²+b²=3a²-c²，∴|FA|²=|FB|²+|AB|²=

3+ 5

2

a2，所以∠FBA等于 90°．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)，以及利用邊長(zhǎng)關(guān)系判斷三角形的形狀的問題．