Question

一臺設備由三大部件組成，在設備運轉中，各部件需要調整的概率相應為0.10，0.20和0.30．假設各部件的狀態相互獨立，以ξ表示同時需要調整的部件數，試求ξ的數學期望Eξ和方差Dξ．

Answer 1

【答案】分析：設出事件，由題意知變量的可能取值，理解在不同取值時對應的事件，做出事件發生的概率，算出期望和方差，運算量較大，解題時特別是在求概率的過程中容易出錯．
解答：解：設A_i={部件i需要調整}（i=1，2，3），
則P（A₁）=0.1，P（A₂）=0.2，P（A₃）=0.3．
由題意ξ有四個可能值0，1，2，3．
由于A₁，A₂，A₃相互獨立，
∴P（ξ=0）=P（）=0.9×0.8×0.7=0.504；
P（ξ=1）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）
=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398；
P（ξ=2）=P（A₁A₂）+P（A₁A₃）+P（A₂A₃）
=0.1×0.2×0.7+0.1×0.8×0.3+0.9×0.2×0.3=0.092；
P（ξ=3）=P（A₁A₂A₃）=0.1×0.2×0.3=0.006．
∴Eξ=1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6，
Dξ=Eξ²-（Eξ）²=1×0.398+4×0.092+9×0.006-0.6²=0.82-0.36=0.46．
點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，相互獨立事件是指，兩事件發生的概率互不影響，而對立事件是指同一次試驗中，不會同時發生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時，往往先求它的對立事件的概率．