【題目】已知數列
的前
項和為
，
，
，
.
（1）求證：數列
是等比數列；
（2）設數列
的前項和為
，
，點
在直線
上，若不等式
對于恒成立，求實數
的最大值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）根據
，利用數列通項與前n項和的關系，由
，得
，兩式相減變形為
，再利用等比數列的定義證明.
（2）由（1）得
，根據點
在直線
上，得到
，由等差數列的定義得到
是等差數列，利用通項公式可得
，進而求得
，令
，用錯位相減法化簡得到
，將不等式
，轉化為
恒成立求解.
（1）由，
得，
兩式相減得
，
變形為
∵
，
∴
，
，
，
∴
是以1為首項，公比為2的等比數列.
（2）由（1）得，
∵點在直線上，∴，
故是以
為首項，
為公差的等差數列.
則
，
∴.
當
時，
，
∵
滿足該式，
∴.
∴不等式，
即為
，
令，則
，
兩式相減得
，
∴，
由
恒成立，即恒成立，
又
，
故當
時，
單調遞減；當
時，
；
當
時，單調遞增；當
時，
；
則
的最小值為，
所以實數m的最大值是.
課課優能力培優100分系列答案
優百分課時互動系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業甲,乙兩個研發小組,他們研發新產品成功的概率分別為
和
,現安排甲組研發新產品
,乙組研發新產品
.設甲,乙兩組的研發是相互獨立的.
(1)求至少有一種新產品研發成功的概率;
(2)若新產品
研發成功,預計企業可獲得
萬元,若新產品
研發成功,預計企業可獲得利潤
萬元,求該企業可獲得利潤的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數
在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B，C為
的圖象與x軸的交點，且
為等邊三角形.將函數的圖象上各點的橫坐標變為原來的
倍后，再向右平移
個單位，得到函數
的圖象.
（1）求函數
的解析式；
（2）若不等式
對任意
恒成立，求實數m的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
.如果數列
滿足
， 
，其中
，則稱
為
的“陪伴數列”.
（Ⅰ）寫出數列
的“陪伴數列”
；
（Ⅱ）若
的“陪伴數列”是
.試證明： 
成等差數列.
（Ⅲ）若
為偶數，且
的“陪伴數列”是
，證明： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點.
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（3）當PA=AB=2，∠ABC=
時，求三棱錐
的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動點M到定點F1（-2，0）和F2（2，0）的距離之和為
．
（1）求動點M軌跡C的方程；
（2）設N（0，2），過點P（-1，-2）作直線l，交橢圓C于不同于N的A，B兩點，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，問k1+k2是否為定值？若是的求出這個值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}滿足a1＝1， 
，其中n∈N*．
（1）設
，求證：數列{bn}是等差數列，并求出{an}的通項公式．
（2）設
，數列{cncn+2}的前n項和為Tn，是否存在正整數m，使得
對于n∈N*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點A(0，－2)，橢圓E： 
(a>b>0)的離心率為
，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為
，O為坐標原點.
(1)求E的方程；
(2)設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點.當△OPQ的面積最大時，求l的方程.
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