Question

14．已知點D（x₀，y₀）為橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一點，直線l：xx₀+yy₀=2a與直線x=±2分別交于G、H兩點，且$\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{OH}$=-2（其中O為坐標原點），則橢圓E的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知求得G、H的坐標，得到$\overrightarrow{OG}、\overrightarrow{OH}$的坐標，代入數量積求得${{y}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}（{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）$，再由D在橢圓上可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，聯立即可求得答案．

解答 解：由直線l：xx₀+yy₀=2a與直線x=±2分別交于G、H兩點，得G（2，$\frac{2a-2{x}_{0}}{{y}_{0}}$），H（-2，$\frac{2a+2{x}_{0}}{{y}_{0}}$），
由$\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{OH}$=4，得$-4+\frac{4{a}^{2}-4{{x}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}$=4，即${{y}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}（{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）$，①
又點D（x₀，y₀）在橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，②
聯立①②，得$（2{b}^{2}-{a}^{2}）（{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}）=0$，
∴a²=2b²，則a²=2（a²-c²），即a²=2c²，解得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與圓錐曲線位置關系的應用，考查橢圓離心率的求法，是中檔題．