Question

已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若sinA+cosA=

2

，且b=

2

，B=

π

6

．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設函數f（x）=sin²x-

a

sinx+1，求函數f（x）在區間[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）把已知等式兩邊平方，整理求出sin2A的值，由A為三角形內角，求出A的度數，由sinA，sinB，b的值，利用正弦定理即可求出a的值；
（Ⅱ）由a的值確定出f（x）解析式，設sinx=t，得到y與t的二次函數，利用二次函數的性質求出y的最大值與最小值，進而確定出f（x）在區間[0，

π

2

]上的值域．

解答： 解：（Ⅰ）把sinA+cosA=

2

，兩邊平方得：1+2sinAcosA=2，即sin2A=1，
∵0＜A＜π，∴0＜2A＜2π，
∴2A=

π

2

，即A=

π

4

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：a=

bsinA

sinB

=

2 × 2 2

1 2

=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=sin²x-

2

sinx+1，
設sinx=t，則y=t²-

2

t+1=（t-

2

2

）²+

1

2

，0≤t≤1，
∴當t=0，即x=0時，y_max=1；當t=

2

2

，即x=

π

4

時，y_min=

1

2

，
則f（x）在區間[0，

π

2

]上的值域為[

1

2

，1]．

點評：此題考查了正弦定理，二次函數的性質，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．