Question

已知雙曲線a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n的一個焦點為(0，

cn

)(n≥2)，且c₁=6，一條漸近線方程為y=

2

x，其中{a_n}是以4為首項的正數數列，記T_n=a₁c₁+a₂c₂+…+a_nc_n（n∈N^*）．
（1）求數列{c_n}的通項公式；
（2）數列{c_n}的前n項和為S_n，求

lim

n→∞

S 2 n

Tn

；
（3）若不等式

1

c1

+

2

c2

+…+

n

cn

+

n

3•2n

＜

1

3

+loga(2x+1)(a＞0，a≠1)對一切自然數n（n∈N^*）恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線方程得：C_n=a_n+a_n+1，由一條漸進線方程為 y=

2

x和a_n是以4為首項的正項數列得到a_n的通項公式化簡，進而推出數列C_n的通項公式；
（2）分別計算T_n=a₁c₁+a₂c₂+…+a_nc_n（n∈N^*），S_n，再求

lim

n→∞

S 2 n

Tn

；
（3）先把C_n的通項公式代入到不等式左邊，錯位相減得 S=

2

3

-

1

3•2n-1

-

n

3•2n

，把S代入到不等式左邊得到要使不等式對一切自然數n恒成立 ?

2

3

-

1

3•2n-1

＜

2

3

+loga(2x+1)(n∈N)，即要log_a（2x+1）≥0，討論a的取值得到x的范圍．

解答：解：（1）由雙曲線方程得：C_n=a_n+a_n+1，又因為一條漸近線 y=

2

x．
∴

an

an-1

=2，∴a_n=4•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹
∴C_n=3•2ⁿ
（2）S_n=6（2ⁿ-1），T_n=8（2²ⁿ-1），∴

lim

n→∞

S 2 n

Tn

=

9

2

（3）令S=

1

c1

+

2

c2

+…+

n

cn

=

1

3•2

+

2

3•22

+…+

n

3•2n

由錯位相減得 S=

2

3

-

1

3•2n-1

-

n

3•2n

故原不等式 ?

2

3

-

1

3•2n-1

＜

2

3

+loga(2x+1)(n∈N)恒成立
∴log_a（2x+1）≥0
（i）當a＞1時，2x+1≥1⇒x≥0
（ii）當 0＜a＜1時，

2x+1＞0 2x+1≤1

∴-

1

2

＜x≤0

點評：本題以雙曲線為載體，考查考查學生靈活運用等比數列的通項公式，以及掌握雙曲線的簡單性質，理解不等式恒成立時取到的條件，掌握對數函數的圖象與性質．