Question

已知雙曲線a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n的一個焦點為，且c₁=6，一條漸近線方程為，其中{a_n}是以4為首項的正數數列，記T_n=a₁c₁+a₂c₂+…+a_nc_n（n∈N^*）．
（1）求數列{c_n}的通項公式；
（2）數列{c_n}的前n項和為S_n，求；
（3）若不等式對一切自然數n（n∈N^*）恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由雙曲線方程得：C_n=a_n+a_n+1，由一條漸進線方程為 和a_n是以4為首項的正項數列得到a_n的通項公式化簡，進而推出數列C_n的通項公式；
（2）分別計算T_n=a₁c₁+a₂c₂+…+a_nc_n（n∈N^*），S_n，再求；
（3）先把C_n的通項公式代入到不等式左邊，錯位相減得 ，把S代入到不等式左邊得到要使不等式對一切自然數n恒成立 ，即要log_a（2x+1）≥0，討論a的取值得到x的范圍．
解答：解：（1）由雙曲線方程得：C_n=a_n+a_n+1，又因為一條漸近線 ．
∴，∴a_n=4•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹
∴C_n=3•2ⁿ
（2）S_n=6（2ⁿ-1），T_n=8（2²ⁿ-1），∴
（3）令S=++…+=++…+
由錯位相減得
故原不等式 恒成立
∴log_a（2x+1）≥0
（i）當a＞1時，2x+1≥1⇒x≥0
（ii）當
∴
點評：本題以雙曲線為載體，考查考查學生靈活運用等比數列的通項公式，以及掌握雙曲線的簡單性質，理解不等式恒成立時取到的條件，掌握對數函數的圖象與性質．